物理 1A：能量、功、功率与动量

力学中的三大核心量——能量、动量与功率——以及三大守恒定律，帮助你在几乎所有问题中无需逐一追踪每一个力就能求解。涵盖动能定理、动能与势能之间的转换、冲量，以及弹性碰撞与非弹性碰撞的本质差异。

15 分钟TEKS 5Physics

功——力沿位移方向的作用

在物理学中，功有一个非常明确的定义，它只与日常用语部分重合。当一个力沿其方向推动或拉动物体一段距离时，就对物体做了功。用符号表示为：

W = F · d · cos θ

其中 F 是力的大小，d 是位移的大小，θ 是二者之间的夹角。单位是焦耳（J），定义为 1 J = 1 N·m。CBE 常考的几种边界情形如下：

如果力与位移同向（θ = 0°），cos θ = 1，W = F·d。直推时做功最大。
如果力与位移垂直（θ = 90°），cos θ = 0，W = 0。在圆轨道上运行的卫星不做功，因为引力始终垂直于其运动方向。同样，水平地面上滑动物块所受的法向支持力也不做功——力向上，运动却是水平的。
如果力与位移反向（θ = 180°），cos θ = −1，W = −F·d。运动物体所受的摩擦力做负功——它把能量从系统中带走。
如果物体没有移动，无论你推得多用力，功都是零。举着重物纹丝不动很累人，但从物理学角度看，你对物体没有做任何功。

动能——运动的能量

动能（KE）是物体因运动而具有的能量：

KE = ½ · m · v²

质量以 kg 为单位，速度以 m/s 为单位，能量以焦耳为单位。CBE 尤其喜欢考察这个公式的两个特点：

½ 这个系数。漏掉它，正确的计算就会变成"答案的两倍"这种典型干扰项。请仔细核对你的步骤。
v 是平方。汽车速度加倍，动能变为四倍；速度增到三倍，动能就是九倍。这正是高速公路事故比停车场剐蹭严重得多的原因：能量按 v² 而非 v 增长。

势能——因位置储存的能量

重力势能（PE）是物体在重力场中因高度而具有的能量：

PE = m · g · h

其中 h 是相对于你选择的参考面的高度。参考面的选取很重要：楼顶的 PE 若以地面为参考和以相邻楼房屋顶为参考，数值会不同。真正有物理意义的是 PE 的变化量，即 ΔPE = mg·Δh——重要的是高度差，而不是绝对高度。

物理 1A 假设近地表重力加速度为常数，因此 PE = mgh 完全够用。当你进入轨道或天体力学问题时，就需要涉及万有引力常数 G 的更一般公式——但这不属于本课程内容。

动能定理

下面这个漂亮的结果将功与动能统一在一起：

W_net = ΔKE = KE_f − KE_i

物体所受合力做的净功等于其动能的变化量。知道合力和作用距离，就能算出 KE 的变化——进而得到末速度。这个捷径经常能解决那些原本需要好几个运动学方程才能拆解的题目。若质量 2 kg 的物体在无摩擦面上以 10 N 的力被推动 3 m，净功为 30 J，末动能就是 30 J，于是 ½ · 2 · v² = 30，v² = 30，v ≈ 5.48 m/s。全程根本没有出现时间变量。

能量守恒——核心法则

如果系统没有对抗摩擦或空气阻力的外部做功，机械能——即 KE 与 PE 之和——守恒。以 PE 形式失去多少，就以 KE 形式得到多少，反之亦然。用符号表示为：

KE_i + PE_i = KE_f + PE_f

这个原理可以解过山车、单摆、下落物体和弹簧一类的题目。选一个 KE 与 PE 都已知的起点，再选一个已知其中之一的终点，就能求出另一个未知量。距离和时间都不会出现在方程里。

功率——做功的快慢

功率是单位时间内做功的多少或能量传递的快慢：

P = W / t 或者等价地 P = F · v

单位是瓦特（W）：1 W = 1 J/s。一名学生在 2 秒内把 20 kg 的书包举高 1 m，做了 20 · 9.8 · 1 ≈ 196 J 的功，功率约为 98 W。一台输出 100 hp（约 74,600 W）的汽车发动机每秒钟做的功比这位学生多 700 多倍。

注意这里 CBE 常见的陷阱：题目可能给出质量、高度和时间，问功率。很容易算出 mgh（功）就当作答案，忘了最后要除以 t。功率是速率——最后一定要除以时间。

动量——另一种"通货"

动量是一个矢量，反映让一个运动物体停下来的难度：

p = m · v

单位：kg·m/s。以 3 m/s 行驶的卡车和以 800 m/s 飞行的子弹动量可能相当——卡车质量极大，而子弹速度极高。

动量是矢量，具有方向。向右运动、动量为 +12 kg·m/s 的球与向左运动、动量为 −12 kg·m/s 的球，大小相等方向相反，相加时相互抵消。

冲量——动量的变化

冲量是力在一段时间内累积作用的效果：

I = F · t = Δp

冲量等于动量的变化。这就是安全气囊和汽车吸能溃缩区能救命的原因：它们把汽车动量降到零所需的时间延长，从而减小乘客所承受的力。同样的冲量（同样的 Δp），t 越长，F 就越小。接鸡蛋时把手向后撤以延长 t，也是同一原理。

动量守恒

在一个封闭系统中（所关注方向上没有外力），总动量守恒。两个物体碰撞时，碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量：

m₁v_1i + m₂v_2i = m₁v_1f + m₂v_2f

这是碰撞问题的核心方程。不管是弹性碰撞还是非弹性碰撞，只要没有外力作用，动量就始终守恒。

弹性碰撞与非弹性碰撞

CBE 会分别考察这两类：

弹性碰撞：动量和动能都守恒。两颗台球相撞或两颗硬橡胶球互相反弹，都很接近理想情形。理想情况下两物体反弹分开，没有能量转化为声音、热或形变。
非弹性碰撞：动量守恒，但动能不守恒。一部分 KE 转化为热、声音或物体的形变。极端情形是完全非弹性碰撞：两物体碰后粘在一起，作为一个整体运动。使用特殊形式：m₁v_1i + m₂v_2i = (m₁ + m₂)·v_f。

CBE 会要求你根据描述判断碰撞是弹性、非弹性还是完全非弹性，并运用动量守恒来求未知速度。请仔细审题——"粘在一起"意味着完全非弹性；"反弹分开、无能量损失"意味着弹性。

学生最容易失分的地方

KE 中漏掉 ½。正好命中"两倍答案"的干扰项。
忘记把 v 平方。KE = ½mv（漏掉平方）是这一主题最常见的错误。
题目已说明非弹性却仍按弹性处理。若物体粘在一起，KE 不守恒——只有动量守恒。
功率题忽略除以时间。把功当作功率来报。
把动量当成标量。动量有方向。向右的动量与大小相等、方向向左的动量会相互抵消。
有摩擦时仍用能量守恒。存在摩擦时机械能不守恒——必须单独计算摩擦力做的功。

例题——完全非弹性碰撞

一辆 3.0 kg 的小车以 4.0 m/s 的速度向右运动，与一辆静止的 5.0 kg 小车相撞。碰后两车粘在一起。求碰撞后组合体的速度，并计算损失了多少动能。

第一步——运用动量守恒。m₁v_1i + m₂v_2i = (m₁ + m₂)·v_f。

第二步——代入数值。(3.0)(4.0) + (5.0)(0) = (3.0 + 5.0)·v_f → 12 = 8·v_f → v_f = 1.5 m/s，方向向右。

第三步——计算碰前碰后 KE。KE_i = ½(3.0)(4.0)² = 24 J。KE_f = ½(8.0)(1.5)² = 9.0 J。

第四步——能量损失。ΔKE = 24 − 9.0 = 15 J转化为小车的热、声音与形变。

这是一道经典题型。动量守恒（碰前 12 kg·m/s，碰后 12 kg·m/s）；动能不守恒（24 J → 9 J）。这种"一守一不守"的双重特征，正是"非弹性"的含义。

自我检查

写出本课的四个公式：W、KE、PE 和 P。
解释为什么水平滑动物块所受的法向支持力不做功。
用一句话陈述动能定理。
弹性碰撞中守恒而非弹性碰撞中不守恒的物理量是什么？
举一个日常生活中冲量的例子（安全气囊、接球等），并用一句话说明它如何减小所受到的力。
一个 2 kg 的球从 5 m 高处自由下落，忽略空气阻力，它落地前瞬间的速度是多少？

（第 6 题参考答案：起始 PE = 2 · 9.8 · 5 = 98 J。到达底部时 PE 全部转化为 KE，故 ½(2)v² = 98，v² = 98，v ≈ 9.9 m/s。）

用 CBE 风格题目进行练习

能量与动量的题目占据物理 A 学期 CBE 后半部分的大部分内容。请使用按能量、功、功率与动量筛选出的练习题库——每一道题都提供分步解答，并指出每个干扰项对应的具体概念错误。

本内容为独立编写的练习材料，对应 Texas Essential Knowledge and Skills (TEKS) §112.39(c)(6)(A)-(D)。与 TTU K-12、UT High School、UT-Austin、Texas Education Agency 或任何 Credit by Examination 施行方均无关联。Texas CBE™ 不组织任何考试，也不授予任何学分。