物理 1B:电力、电场与库仑定律

电荷——最基本的属性

电荷与质量一样,是物质最基本的属性之一。但与质量不同,电荷分为正、负两种,一种电荷可以抵消另一种。正因如此,我们平常并不会感到普通物质内部粒子之间那种巨大的电力:正、负电荷几乎完全平衡。

CBE 常考的三条关于电荷的事实:

• 同号电荷相斥,异号电荷相吸。两个正电荷彼此推开;一正一负则彼此吸引。这是每一道电力题目的定性核心。
• 电荷守恒。在任何物理过程中,总电荷在前后保持不变。电荷可以在物体之间转移(比如从摩擦过的气球流到头发上的电子),但不会凭空出现或消失。
• 电荷是量子化的。电荷的最小单位是元电荷 e ≈ 1.60 × 10⁻¹⁹ C,由一个电子(负)或一个质子(正)所携带。所观测到的每一个电荷都是这一基本单位的整数倍。

电荷的国际单位是库仑(C)。1 库仑数量非常庞大——大约需要 6.24 × 10¹⁸ 个电子才能凑出 1 库仑的负电荷。实验室中常见的电荷通常以纳库(10⁻⁹ C)或微库(10⁻⁶ C)计。

库仑定律——熟悉的形状

两个点电荷之间的力由库仑定律描述:

F = k · |q₁ · q₂| / d²

其中:

• F 是力的大小,单位为牛顿(N)。
• q₁ 和 q₂ 是两个电荷,单位为库仑(C)。
• d 是它们之间的距离,单位为米(m)。
• k 是库仑常数:k ≈ 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。注意 k 比 G(6.67 × 10⁻¹¹)大得多——这正是原子尺度下电力比引力强得多的原因。

请留意这个式子与牛顿的万有引力定律形态多么相似。两者都是一个常数乘以两个"某量"的乘积,再除以距离的平方。这并非巧合:在三维空间中由一点向外扩散的力,其数学形式天然产生 1/r² 的依赖关系。区别在于:引力用质量(总为正),电力用电荷(可正可负),两者的常数在数量级上相差极大。

在 CBE 中使用库仑定律时,建议用上面的绝对值形式关注大小,再单独用同号/异号规则判定力是吸引还是排斥,可避免为方向而繁琐地追踪正负号。

电场——单位电荷所受的力

当同时存在很多电荷时,直接用库仑定律会非常繁琐。物理学家用场这一概念来简化:即一个电荷周围的空间,任何其他电荷进入其中都会受到力的作用。某处的电场告诉你在该处的一个试验电荷所受的力除以试验电荷的大小:

E = F / q

单位是牛每库仑(N/C)。给定某处的电场 E,置于该处的电荷 q 所受的力为 F = qE。场本身是矢量,方向指向一个正试验电荷会被推动的方向。

对于位于距离 r 处的单个点电荷 Q,电场的大小为:

E = k · |Q| / r²

方向:若 Q 为正则背离 Q;若 Q 为负则指向 Q。这些方向定义了物理学家在电荷周围绘制的电场线——描绘正试验电荷所走路径的箭头。

电场线绝不会交叉(一个试验电荷不可能同时被推向两个方向),并且总是从正电荷出发,终止于负电荷(或延伸至无穷远)。

导体与绝缘体

根据电荷在其中的移动方式,材料可分为两大类:

• 导体——电子可以自由移动的材料。金属(铜、银、铝)是极佳的导体,因为它们最外层的电子只与各个原子松散结合。在导体中,任何多余的电荷会迅速分布到表面,直至作用在电子上的力达到平衡。
• 绝缘体——电子被紧紧束缚、无法自由移动的材料。橡胶、玻璃、木头、塑料、干燥空气都是。多余的电荷会停留在被放置的位置(比如把气球在头发上摩擦后留下的负电荷)。

CBE 考察由此产生的三条推论:

• 导体上的电荷会移到外表面。静态导体内部的电场为零。
• 两个导体接触时可自由分享电荷,直至达到平衡。
• 绝缘体可将局部电荷保持很长时间——因此干燥天气里,毛衣产生的静电可持续数小时。

电荷守恒——电荷移动的三种方式

电荷通过 CBE 期望你能识别的三种机制在物体之间转移:

• 传导——直接接触使电荷得以在导体之间流动。用带电的杆触碰金属球,可将部分电荷转移到球上。
• 感应——将带电物体靠近(但不接触)导体,导体内部的电荷会重新排列。此时对导体接地,再撤去接地,可以留下净电荷。
• 极化——即便在绝缘体中,原子也可发生形变,使正负两侧略有偏移,产生临时偶极。这就是带电气球能贴在墙上的原因:墙壁因响应而被极化。

三种情形中总电荷都守恒:一物所得即另一物所失。电荷从不会被创生或消灭,只会被搬运。

学生失分的地方

• 吸/斥方向搞反。同号相斥,异号相吸。规则简单,但在一串电荷混杂的题里很容易失误。
• 忘记对距离求平方。与引力相同,库仑定律是平方反比。距离加倍,力变为四分之一,不是二分之一。
• 混淆 k 与 G。k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²,G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²。两个常数相差 20 个数量级。
• 把电场 E 当成力 F。E 是单位电荷所受的力;求力要将 E 乘以 q。
• 假设电荷会停在导体上放置的位置。并不会——电荷会分布到整个表面直至平衡。

例题——两电荷间的力

两个点电荷 q₁ = +5.0 × 10⁻⁶ C 与 q₂ = −3.0 × 10⁻⁶ C,相距 0.10 m。求它们之间力的大小并说明方向。取 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。

步骤 1——用绝对值形式代入库仑定律。

F = k · |q₁||q₂| / d² = (8.99 × 10⁹) × (5.0 × 10⁻⁶)(3.0 × 10⁻⁶) / (0.10)²

步骤 2——计算分子:(8.99 × 10⁹) × (15 × 10⁻¹²) = 134.85 × 10⁻³ = 0.13485 N。

步骤 3——除以 d² = 0.01 m²。F = 0.13485 / 0.01 = 13.5 N。

步骤 4——方向:异号(一正一负)相吸。力沿两电荷连线方向将它们互相拉近。

自我检验

1. 用一句话说明同号与异号电荷的定性规则。
2. 凭记忆写出库仑定律,并说明每个符号的含义。
3. 比较常数 k 与 G。在日常尺度下,哪一种力更强?
4. 用文字定义电场,并写出 F、E、q 之间的关系。
5. 说明导体与绝缘体的区别。
6. 两个相同的 +2 μC 电荷相距 0.05 m,估计它们之间的力(数量级即可)。

通过 CBE 风格的题目练习

库仑定律与电场是物理 B 学期后续所有主题的基础。请在题库中筛选出电力、电场与电荷练习——每道题都附有分步解答,并指出每个干扰项所代表的常见错误。

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