物理 1A:一维运动(运动学)

位置、位移与真正重要的那个区别

物理学用带符号的量来描述运动。物体在任意时刻所处的地方叫做位置,即所选坐标轴上的一个具体位置,通常用一个坐标值表示。从起点到终点的位置变化就是位移。位移是一个矢量:它既有大小(有多远),又有方向(朝哪一边),因此位移的符号本身就是一种信息。

与之相对的距离是标量:它只记录物体走了多少路,忽略方向的信息。若一名跑者先向北跑 100 m,再向南跑 100 m 回到起点,他行进的距离是 200 m,而位移却是零,因为他最终停在与出发点相同的位置。距离只会增加,位移则可正可负,还能因方向抵消而变小。

CBE 会精心措辞,考察你是否能分辨这两者。「车开了多远?」通常问的是距离,是路径长度的累积。「车的位移是多少?」问的则是带符号的净变化,是起点到终点的位置差。拿不准时就问自己:方向重要吗?若重要,就用位移;若只关心路径长度本身,就用距离。

速率与速度、平均与瞬时

接下来还有两组标量/矢量的搭配需要在头脑中彻底分清,它们看似接近,却在题目中被 CBE 反复用来设陷阱:

• 速率 = 距离 ÷ 时间 — 是标量,只告诉你有多快,不告诉方向。
• 速度 = 位移 ÷ 时间 — 是矢量,同时告诉你有多快以及往哪个方向。

各自内部又分两种:

• 平均速度 = 总位移 ÷ 总时间。把过程中发生的一切压缩成一个数字。
• 瞬时速度 = 某一具体时刻的速度。在位置-时间图上,就是该点切线的斜率。

想象一辆车从静止加速、以高速公路速度匀速行驶,再减速到停止。它的瞬时速度在整个过程中变化剧烈,时快时慢。而平均速度只是把总距离除以总时间得到的单一数字,通常远小于峰值瞬时速度。二者都有用,只是回答不同的问题:平均速度概括整段旅程,瞬时速度捕捉某个瞬间的状态。

加速度 — 速度变化的快慢

加速度刻画速度变化得有多快:

a = (v_f − v_i) / t

单位是 m/s²(米每秒每秒)。若一辆车在 6 秒内从静止达到 30 m/s,平均加速度就是 5 m/s²,意味着每一秒速度都增加 5 m/s。

CBE 会考察的三处细微之处:

• 负加速度不等于减速。朝负方向运动、加速度也为负的物体其实在加快。符号描述方向,不描述意图。真正的减速发生在加速度方向与速度方向相反时,无论符号如何。
• 加速度为零 ≠ 速度为零。以 25 m/s 匀速行驶的车有速度,却没有加速度。这就是牛顿第一定律在现实中的体现。
• 匀速表示位置-时间图上是直线。匀加速表示速度-时间图上是直线。若能把文字描述与正确的图形匹配起来,你已经解决了 CBE 运动题的一半。

四个运动学方程

对于一维内做匀加速运动的物体,四个方程将五个变量(初速度 v_i、末速度 v_f、位移 Δx、加速度 a、时间 t)联系起来,四个都会用到:

1. v_f = v_i + at — 由初速度、加速度和时间求末速度。不涉及位移。
2. Δx = v_i·t + ½at² — 由初速度、加速度和时间求位移。不涉及末速度。
3. v_f² = v_i² + 2a·Δx — 由初速度、加速度和位移求末速度。不涉及时间。题目不提到时间时就用它。
4. Δx = ½(v_i + v_f)·t — 由初末速度的平均和时间求位移。不涉及加速度。当加速度未知但两个速度都给出时很有用。

策略:读题、列出已知量,再挑那条恰好排除掉你无法得到的变量的方程。不要孤立地死记四条式子;要认识到每条方程都恰好省略一个变量,把题目中缺席的变量与方程中缺席的变量一一对应即可。这样即使一时忘记,也能迅速推出应该用哪一条。

常让学生栽跟头的一种情形是自由落体。当空气阻力可以忽略时,靠近地表下落的物体其向下的加速度恒为 g = 9.8 m/s²(粗略估算时常近似为 10 m/s²)。四条运动学方程照样直接适用 — 把 a = g 代入,并始终对符号保持警觉:通常在一题内明确规定向下为正方向或者向下为负方向,然后从头到尾坚持同一约定,不要中途换向,否则速度和位移的符号会前后不一致导致算错。

运动图像,像语言一样解读

运动常以图像而非文字给出。对于一维运动,两类图像最关键:

• 位置-时间图(x-t 图)
  • 任一点线的斜率 = 瞬时速度。
  • 直线 = 匀速。
  • 曲线 = 存在加速度(速度在变)。
  • 平的水平线 = 物体静止。
  • 线向上走 = 沿正方向运动;向下走 = 沿负方向运动。
• 速度-时间图(v-t 图)
  • 任一点线的斜率 = 瞬时加速度。
  • 倾斜的直线 = 匀加速。
  • 水平线 = 匀速、加速度为零。
  • 线与时间轴之间的面积 = 该段的位移。
  • 线穿过零的地方 = 物体瞬时静止或反向的时刻。

「v-t 曲线下面积」规则是 CBE 中最常被考察的图像事实。只要看到 v-t 图,题目问物体走了多远,就直接计算曲线下区域的面积即可。矩形区域用底 × 高,三角形区域用 ½ × 底 × 高,组合图形则拆成若干矩形和三角形相加。若曲线穿过时间轴,则轴上方与轴下方的面积代表相反方向的位移,若求总位移需要按符号相减,若求总路程则一律取绝对值相加。

参考系 — 运动取决于谁在观察

上面所有运动量都是相对于所选参考系来测量的。一列开动的火车里,一名乘客以 1 m/s 向前走,则:

• 相对火车以 1 m/s 移动。
• 相对地面以 26 m/s 移动(如果火车正以 25 m/s 前进)。
• 相对随身携带的咖啡,以 0 m/s 移动。

物理规律在所有惯性参考系中都保持一致 — 在完全封闭的火车内做任何实验都无法判断火车究竟是静止还是在匀速前进。这一基础思想后来引出了爱因斯坦的狭义相对论,而在 CBE 里则通常以类似这样的题目出现:「A 相对 B 的速度为 +5 m/s,B 相对地面为 −3 m/s,那么 A 相对地面的速度是多少?」解答:+5 + (−3) = +2 m/s。答案的关键在于沿运动方向把相对速度当作矢量相加,并且始终留意规定的正方向,才能确保各分量的正负号在整题内保持自洽。

典型例题 — 一步一步来解

一辆车在 84 m 距离内从 12 m/s 均匀加速到 30 m/s,加速过程用了多长时间?

先把题目中给出的已知量与所求的未知量清楚地列出来:

• v_i = 12 m/s, v_f = 30 m/s, Δx = 84 m — 已知。
• a = ? 且 t = ? — 未知,但只需求 t。

哪个方程排除加速度?第 4 式:Δx = ½(v_i + v_f)·t。

变形:t = 2·Δx / (v_i + v_f) = 2(84) / (12 + 30) = 168 / 42 = 4.0 s。

注意整题完全没有用到加速度这个量。挑对方程往往能直接省下一步换算,更能减少代入错误的机会。这正是 CBE 常考的思考方式:与其把每条式子按顺序都尝试一遍,不如先分析题目缺什么、给了什么,再一步命中最短的解法路径。

自我检查:是否真正吸收

在继续往下学习之前,请快速核对下面每一项都能顺利答出:

1. 为静止物体画一张位置-时间图,是什么形状?再画一张匀速正向的,以及匀速负向的。
2. 在速度-时间图上,勾画一个先快后慢直至停止再反向的物体,哪里发生了什么符号变化?
3. 凭记忆写出四个运动学方程,并对每一个指出被省略的变量。
4. 把物体竖直向上抛出,在最高点它的加速度是多少?(陷阱题 — 想清楚。)
5. 船相对水以 3 m/s 横渡河流,水流向下游 2 m/s,请在地面参考系中描述船的速度。

第 4 题答案:即使在最高点瞬时速度为零,加速度仍然是 g = 9.8 m/s²,方向指向下方。加速度描述的是速度的变化率,而不是当前速度本身的大小。物体之所以能在最高点由上升变为下落,恰恰是因为这里持续存在向下的加速度。忽视这一点是 CBE 中最常见的概念错误之一,尤其是把「速度为零」误认为「加速度也为零」时最容易失分。

用 CBE 风格题目练习

运动学是物理 A 学期占比最大的单一主题,也是通过 CBE 的关键分数来源。请到按Motion (Kinematics)筛选的练习题库中系统训练 — 题目覆盖一维和二维运动学、位置与速度图像的判读、以及四条运动学方程的综合运用。每题都配有分步解答,便于对照检查思路是否走对。建议先按主题小段完成,再进行整章的混合练习,以逼近真正 CBE 的题型分布。

本练习内容为独立编写,对齐 Texas Essential Knowledge and Skills (TEKS) §112.39(c)(4)。与 TTU K-12、UT High School、UT-Austin、Texas Education Agency 或任何 Credit by Examination 主办方均无关联。Texas CBE™ 不主持任何考试,也不授予学分。