SAT Geometry: círculos y geometría de coordenadas

La ecuación estándar del círculo, completar el cuadrado para hallar el centro, longitud de arco y área de sector, fórmulas de distancia y punto medio, y las conversiones de grados a radianes que debes memorizar.

9 minTEKS GEOSAT Math

Círculos y geometría de coordenadas aparecen 2–3 veces en cada Digital SAT — ecuaciones de círculos, longitud de arco y fórmulas de distancia/punto medio. El álgebra es breve si conoces las plantillas.

Fundamentos del círculo

Circunferencia: C = 2πr (o πd)Área: A = πr²Diámetro: d = 2rAmbas están en la hoja de referencia. Fíjate si el problema da r o d.

Ecuación de un círculo

Ecuación estándar del círculo. Los signos dentro de los paréntesis son opuestos a las coordenadas del centro.

(x − h)² + (y − k)² = r²Centro: (h, k) — signos opuestos a los de la ecuaciónRadio: r — raíz cuadrada del lado derechoEjemplo: (x − 3)² + (y + 2)² = 25 → centro (3, −2), radio 5.

Completar el cuadrado para círculos

Cuando el SAT da un círculo en forma expandida, completa el cuadrado en x y en y para hallar el centro.

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0(x² − 6x) + (y² + 4y) = 12(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4(x − 3)² + (y + 2)² = 25Centro (3, −2), radio 5Suma (b/2)² para cada variable. Añade la misma cantidad al lado derecho.

Longitud de arco y área de sector

Longitud de arco = (θ/360) · 2πr (θ en grados)Área de sector = (θ/360) · πr²El arco/sector es la fracción θ/360 del círculo completo.

Un círculo tiene radio 6 y un sector de 60°. Halla el área del sector.Área = (60/360) · π · 6²= (1/6) · 36π = 6πReduce primero la fracción del ángulo — hace la multiplicación más fácil.

Distancia y punto medio

Distancia: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)Punto medio: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)La distancia es el teorema de Pitágoras con las diferencias en x y y como catetos.

Distancia de (1, 2) a (4, 6):d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5Punto medio de (1, 2) y (4, 6) = (2.5, 4)Nota la terna 3-4-5 escondida en el cálculo.

Una pizca de radianes

El Digital SAT usa grados mayormente, pero ocasionalmente pide radianes. Conversión:

180° = π radianesgrados → radianes: multiplica por π/180radianes → grados: multiplica por 180/πComunes: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.

Desmos para coordenadas

Grafica los puntos y el círculo directamente. Desmos muestra intersecciones, distancias y el diseño visual — a menudo responde "¿cuál de los siguientes puntos está sobre el círculo?" al instante.

Consejo para el día del examen

Si dan la ecuación de un círculo y preguntan si un punto está dentro, sobre, o fuera, sustituye las coordenadas y compara con r². Menor que r² = dentro, igual = sobre, mayor = fuera.

Rectas tangentes a un círculo

Una tangente toca al círculo en un único punto. Hecho clave: el radio dibujado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Círculo centrado en (0, 0), radio 5. Una tangente toca en (3, 4).Pendiente del radio = (4 − 0) / (3 − 0) = 4/3Pendiente de la tangente = −3/4 (perpendicular)Ecuación: y − 4 = −3/4 (x − 3) → y = −(3/4)x + 25/4Tangente ⊥ radio — piedra angular de todo problema SAT de tangente.

Forma pendiente-intersección en coordenadas

Las preguntas de coord-geo suelen mezclar círculos con conceptos lineales.

Halla la pendiente de la recta por (−2, 5) y (4, −1).m = (−1 − 5) / (4 − (−2)) = −6 / 6 = −1Ecuación: y − 5 = −1(x − (−2)) → y = −x + 3Cuidado con el doble negativo cuando x₁ es negativa.

Errores comunes

Leer mal los signos del centro: (x − 3)² tiene h = +3, no −3
Olvidar la raíz para el radio (r² = 25 significa r = 5)
Confundir longitud de arco (lineal) con área de sector (cuadrática)
Usar diámetro cuando la fórmula pide radio
Dibujar la tangente paralela al radio en vez de perpendicular

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