SAT Geometry: 원과 좌표기하
원의 표준형 방정식, 중심을 구하기 위한 완전제곱, 호의 길이와 부채꼴 넓이, 거리·중점 공식, 그리고 반드시 외워야 할 도-라디안 변환을 다룹니다.
원과 좌표기하는 Digital SAT마다 2~3회 출제됩니다 — 원의 방정식, 호의 길이, 거리·중점 공식. 템플릿만 알면 대수 계산은 짧아집니다.
원의 기본
둘레: C = 2πr (또는 πd)넓이: A = πr²지름: d = 2r둘 다 참고 시트에 있습니다. 문제가 r을 주는지 d를 주는지 잘 확인하십시오.
원의 방정식
(x − h)² + (y − k)² = r²중심: (h, k) — 식의 부호와 반대반지름: r — 우변의 제곱근예: (x − 3)² + (y + 2)² = 25 → 중심 (3, −2), 반지름 5.
원의 완전제곱
전개된 원이 주어지면 x, y 각각에 대해 완전제곱을 완성해 중심을 구하십시오.
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0(x² − 6x) + (y² + 4y) = 12(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4(x − 3)² + (y + 2)² = 25중심 (3, −2), 반지름 5각 변수에 (b/2)²을 더하고, 우변에도 같은 값을 더합니다.
호의 길이와 부채꼴 넓이
호의 길이 = (θ/360) · 2πr (θ는 도)부채꼴 넓이 = (θ/360) · πr²호·부채꼴은 원 전체의 θ/360 분수입니다.
반지름 6, 60° 부채꼴의 넓이는?넓이 = (60/360) · π · 6²= (1/6) · 36π = 6π각도 분수를 먼저 약분하십시오 — 곱셈이 쉬워집니다.
거리와 중점
거리: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)중점: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)거리는 x·y 차이를 두 변으로 하는 피타고라스 정리입니다.
(1, 2)에서 (4, 6)까지의 거리:d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5(1, 2)와 (4, 6)의 중점 = (2.5, 4)계산 속에 3-4-5 피타고라스 수가 숨어 있음을 보십시오.
라디안 맛보기
Digital SAT는 주로 도를 쓰지만 가끔 라디안을 요구합니다. 변환:
180° = π 라디안도 → 라디안: π/180 곱하기라디안 → 도: 180/π 곱하기자주 쓰는 값: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.
좌표기하용 Desmos
점과 원을 직접 그리십시오. Desmos가 교점, 거리, 시각적 배치를 보여주므로 "다음 중 원 위에 있는 점은?" 같은 문제를 즉시 답할 수 있습니다.
시험 당일 팁
원의 방정식이 주어지고 어떤 점이 원 위/안/밖에 있는지 물으면, 그 점을 좌변에 대입해 r²과 비교하십시오. r²보다 작으면 안, 같으면 원 위, 크면 밖입니다.
원의 접선
접선은 원과 정확히 한 점에서 만납니다. 핵심 사실: 접점에서 그은 반지름은 접선과 수직입니다.
원이 (0, 0)을 중심으로 반지름 5. 접점은 (3, 4).반지름의 기울기 = (4 − 0) / (3 − 0) = 4/3접선의 기울기 = −3/4 (수직)식: y − 4 = −3/4 (x − 3) → y = −(3/4)x + 25/4접선 ⊥ 반지름 — 모든 SAT 접선 문제의 핵심.
좌표기하에서의 기울기-절편 형태
좌표기하 문항은 원과 직선 개념을 자주 섞습니다.
(−2, 5)와 (4, −1)을 지나는 직선의 기울기:m = (−1 − 5) / (4 − (−2)) = −6 / 6 = −1식: y − 5 = −1(x − (−2)) → y = −x + 3x₁이 음수일 때 이중 부호에 주의하십시오.
흔한 실수
- 중심 부호 오독: (x − 3)²의 h는 +3이지 −3이 아님
- 반지름 구할 때 √를 놓치는 것(r² = 25이면 r = 5)
- 호의 길이(선형)와 부채꼴 넓이(제곱) 혼동
- 공식이 반지름을 요구할 때 지름을 대입하는 것
- 접선을 반지름과 수직이 아닌 평행으로 그리는 것