Aprender · SAT Math

SAT Advanced Math: funciones cuadráticas y la parábola

Las tres formas de la cuadrática, la regla del discriminante, cuándo factorizar frente a usar la fórmula, y el atajo de Vieta que resuelve preguntas de "suma de raíces" en menos de 10 segundos.

9 minTEKS ADVSAT Math

Las cuadráticas son el tema más evaluado del dominio Advanced Math — espera 4–6 preguntas sobre parábolas, fórmula cuadrática, factorización y forma vértice. Tres formas de una misma ecuación, tres usos distintos.

Las tres formas de una cuadrática

Cada forma revela una característica distinta
  • Estándar: y = ax² + bx + c → revela la intersección y (c)
  • Vértice: y = a(x − h)² + k → revela el vértice (h, k)
  • Factorizada: y = a(x − p)(x − q) → revela las raíces (p y q)
raíz praíz qvértice (h, k)eje de simetría: x = h = (p+q)/2
El vértice está exactamente en el punto medio entre las dos raíces. El eje de simetría x = h lo atraviesa.

La fórmula cuadrática

Para cualquier cuadrática ax² + bx + c = 0, las raíces son:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)Memorízala. La hoja de referencia de Bluebook NO la incluye.

Cuándo factorizar vs. usar la fórmula

Intenta siempre factorizar primero — es más rápido cuando los números son limpios. Usa la fórmula cuadrática cuando la factorización falla o los coeficientes son incómodos.

x² − 5x + 6 = 0(x − 2)(x − 3) = 0x = 2 o x = 3Busca dos números que multipliquen a +6 y sumen −5: −2 y −3.
2x² + 3x − 5 = 0x = (−3 ± √(9 + 40)) / 4x = (−3 ± 7) / 4x = 1 o x = −5/2Discriminante 49 → cuadrado perfecto → raíces limpias.

El discriminante te dice cuántas raíces reales hay

Discriminante: D = b² − 4acD > 0 → dos raíces reales (la parábola cruza el eje x dos veces)D = 0 → una raíz real (la parábola toca el eje x)D < 0 → sin raíces reales (la parábola no lo cruza)SAT ama preguntar "para qué valor de k hay exactamente una solución" — impón D = 0.

Forma vértice y completar el cuadrado

Si necesitas el vértice partiendo de la forma estándar ax² + bx + c, usa el atajo:

h = −b / (2a)k = f(h) — sustituye hEjemplo: y = x² − 6x + 11 → h = 3, k = 9 − 18 + 11 = 2 → vértice (3, 2)

Desmos para cuadráticas

Escribe la cuadrática y Desmos muestra la parábola con raíces, vértice e intersección y clicables. Para preguntas de "suma de las raíces", es una solución de 10 segundos.

Atajo de Vieta

Para ax² + bx + c = 0: suma de raíces = −b/a y producto de raíces = c/a. Salta la resolución completa cuando solo piden la suma o el producto.

¿Hacia dónde abre la parábola?

El signo de a en y = ax² + bx + c controla la dirección.

  • a > 0 → parábola abre hacia arriba, vértice es un mínimo
  • a < 0 → parábola abre hacia abajo, vértice es un máximo
  • |a| mayor → parábola más estrecha; |a| menor → más ancha

Problema: movimiento del proyectil

La altura (en pies) de una pelota en el tiempo t (s) es h(t) = −16t² + 48t + 6. ¿Altura máxima?a = −16, b = 48 → t = −b/(2a) = −48/(−32) = 1.5 sh(1.5) = −16(2.25) + 48(1.5) + 6 = −36 + 72 + 6 = 42 piesLos problemas de proyectil son cuadráticas disfrazadas. Siempre halla primero el valor de t del vértice.

Transformaciones de funciones

En y = a(x − h)² + k, cada parámetro desplaza o escala la parábola base y = x²:

  • h desplaza horizontalmente — a la derecha por h (fíjate en el signo menos dentro)
  • k desplaza verticalmente — hacia arriba por k
  • a escala verticalmente — estira si |a| > 1, comprime si |a| < 1, invierte si es negativa

Errores comunes

  • Olvidar la segunda raíz — la cuadrática tiene dos soluciones a menos que D = 0
  • Error de signo en la fórmula cuadrática (el −b delante)
  • Confundir las coordenadas de la forma vértice: y = a(x − 3)² + 2 tiene vértice (3, 2), no (−3, 2)
  • Usar 4ac en vez de b² − 4ac como discriminante
  • Asumir que la parábola abre hacia arriba cuando a es negativa

→ Prueba gratis el SAT Math Quick Drill