SAT Geometry: đường tròn và hình học toạ độ

Phương trình chuẩn của đường tròn, bình phương hoá để tìm tâm, độ dài cung và diện tích quạt, công thức khoảng cách và trung điểm, cùng các phép đổi độ-radian phải thuộc.

9 phútTEKS GEOSAT Math

Đường tròn và hình học toạ độ xuất hiện 2–3 lần mỗi Digital SAT — phương trình đường tròn, độ dài cung, công thức khoảng cách/trung điểm. Đại số ngắn nếu các em biết khuôn mẫu.

Cơ bản về đường tròn

Chu vi: C = 2πr (hoặc πd)Diện tích: A = πr²Đường kính: d = 2rCả hai có sẵn trong bảng tra. Kiểm kỹ đề cho r hay d.

Phương trình đường tròn

Phương trình chuẩn. Dấu trong ngoặc ngược dấu với toạ độ tâm.

(x − h)² + (y − k)² = r²Tâm: (h, k) — ngược dấu so với dấu trong phương trìnhBán kính: r — căn bậc hai vế phảiVí dụ: (x − 3)² + (y + 2)² = 25 → tâm (3, −2), bán kính 5.

Bình phương hoá cho đường tròn

Khi SAT cho đường tròn ở dạng khai triển, hãy bình phương hoá cho cả x và y để tìm tâm.

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0(x² − 6x) + (y² + 4y) = 12(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4(x − 3)² + (y + 2)² = 25Tâm (3, −2), bán kính 5Với mỗi biến, cộng (b/2)². Cộng cùng giá trị vào vế phải.

Độ dài cung và diện tích quạt

Độ dài cung = (θ/360) · 2πr (θ tính bằng độ)Diện tích quạt = (θ/360) · πr²Cung/quạt bằng phân số θ/360 của toàn đường tròn.

Đường tròn bán kính 6, quạt 60°. Tính diện tích quạt.Diện tích = (60/360) · π · 6²= (1/6) · 36π = 6πRút gọn phân số góc trước — nhân sẽ dễ hơn.

Khoảng cách và trung điểm

Khoảng cách: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)Trung điểm: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)Khoảng cách chính là Pythagoras với hiệu x và hiệu y làm hai cạnh.

Khoảng cách từ (1, 2) đến (4, 6):d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5Trung điểm của (1, 2) và (4, 6) = (2,5, 4)Chú ý bộ ba 3-4-5 ẩn trong phép tính.

Chút radian

Digital SAT dùng độ là chính, nhưng thi thoảng hỏi radian. Đổi:

180° = π radianđộ → radian: nhân với π/180radian → độ: nhân với 180/πQuen thuộc: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.

Desmos cho hình học toạ độ

Vẽ trực tiếp các điểm và đường tròn. Desmos hiện giao điểm, khoảng cách và bố cục — thường trả lời tức thì câu "điểm nào sau đây nằm trên đường tròn?"

Mẹo ngày thi

Nếu đề cho phương trình đường tròn và hỏi điểm nằm trên/trong/ngoài, thế toạ độ vào vế trái và so với r². Nhỏ hơn r² = trong, bằng = trên, lớn = ngoài.

Tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến tiếp xúc đường tròn tại đúng một điểm. Ý chính: bán kính vẽ tới tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến.

Đường tròn tâm (0, 0), bán kính 5. Tiếp tuyến tiếp xúc tại (3, 4).Hệ số góc bán kính = (4 − 0) / (3 − 0) = 4/3Hệ số góc tiếp tuyến = −3/4 (vuông góc)Phương trình: y − 4 = −3/4 (x − 3) → y = −(3/4)x + 25/4Tiếp tuyến ⊥ bán kính — nền tảng của mọi bài tiếp tuyến SAT.

Dạng hệ số góc – tung độ gốc trong toạ độ

Câu hình học toạ độ hay kết hợp đường tròn với các khái niệm về đường thẳng.

Tìm hệ số góc của đường qua (−2, 5) và (4, −1).m = (−1 − 5) / (4 − (−2)) = −6 / 6 = −1Phương trình: y − 5 = −1(x − (−2)) → y = −x + 3Chú ý dấu âm kép khi x₁ âm.

Lỗi thường gặp

Đọc sai dấu tâm: (x − 3)² có h = +3, không phải −3
Quên căn để lấy bán kính (r² = 25 nghĩa là r = 5)
Nhầm độ dài cung (tuyến tính) với diện tích quạt (bình phương)
Dùng đường kính khi công thức đòi bán kính
Vẽ tiếp tuyến song song với bán kính thay vì vuông góc

→ Thử miễn phí SAT Math Quick Drill