SAT Geometry：圆与坐标几何
圆的标准方程、通过配方法找圆心、弧长与扇形面积、距离与中点公式，以及必须记住的角度-弧度换算。
圆与坐标几何在每场 Digital SAT 出现 2–3 次 —— 圆的方程、弧长和距离/中点公式。掌握模板后代数量都很小。
圆的基本量
周长：C = 2πr（或 πd）面积：A = πr²直径：d = 2r两者都在参考表中。仔细看题目给的是 r 还是 d。
圆的方程
(x − h)² + (y − k)² = r²圆心：(h, k) —— 与方程内符号相反半径：r —— 等式右边开平方例：(x − 3)² + (y + 2)² = 25 → 圆心 (3, −2)，半径 5。
用配方法处理圆
SAT 给出展开式时，对 x 和 y 分别配方来求圆心。
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0(x² − 6x) + (y² + 4y) = 12(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4(x − 3)² + (y + 2)² = 25圆心 (3, −2)，半径 5每个变量加上 (b/2)²，等号右边加相同的量。
弧长与扇形面积
弧长 = (θ/360) · 2πr（θ 为度数）扇形面积 = (θ/360) · πr²弧/扇形是整个圆的 θ/360 分数。
圆半径 6，60° 扇形。求扇形面积。面积 = (60/360) · π · 6²= (1/6) · 36π = 6π先约分角度分数 —— 乘法更简单。
距离与中点
距离：d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)中点：M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)距离就是把 x、y 差作两条直角边的勾股定理。
(1, 2) 到 (4, 6) 的距离：d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5(1, 2) 与 (4, 6) 的中点 = (2.5, 4)注意计算中隐藏的 3-4-5 三元组。
一点弧度
Digital SAT 主要用度，偶尔要求弧度。换算：
180° = π 弧度度 → 弧度：乘以 π/180弧度 → 度：乘以 180/π常见：30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2。
坐标几何用 Desmos
直接画点和圆。Desmos 显示交点、距离和视觉布局 —— 立即回答"下面哪个点在圆上？"这类问题。
考试当日贴士
若给出圆方程并问某点在圆上/内/外，把点坐标代入左边并与 r² 比较。小于 r² = 内，等于 = 圆上，大于 = 外。
圆的切线
切线只与圆相交于一点。关键：切点处的半径与切线垂直。
圆心 (0, 0)，半径 5。切线在 (3, 4) 处相切。半径斜率 = (4 − 0) / (3 − 0) = 4/3切线斜率 = −3/4（垂直）方程：y − 4 = −3/4 (x − 3) → y = −(3/4)x + 25/4切线 ⊥ 半径 —— 所有 SAT 切线题的基石。
坐标几何里的斜截式
坐标几何题常把圆与线性概念混在一起。
求过 (−2, 5) 和 (4, −1) 的直线斜率。m = (−1 − 5) / (4 − (−2)) = −6 / 6 = −1方程：y − 5 = −1(x − (−2)) → y = −x + 3x₁ 为负时留意双重负号。
常见错误
- 看错圆心符号：(x − 3)² 的 h = +3，不是 −3
- 求半径时忘记开方（r² = 25 意味着 r = 5）
- 混淆弧长（一次）与扇形面积（平方）
- 公式要半径时代入了直径
- 把切线画成与半径平行而不是垂直