SAT Advanced Math: exponenciales y funciones no lineales

Reglas de exponentes, la plantilla maestra de crecimiento/decaimiento y = a·bˣ, y cómo traducir "aumenta 5% al año" a un modelo matemático. Además, la trampa de la solución extraña en ecuaciones con radicales.

8 minTEKS ADVSAT Math

El crecimiento exponencial, las reglas de exponentes y las funciones no lineales aparecen 3–5 veces por Digital SAT — a menudo disfrazados como problemas de población, interés o decaimiento radiactivo. Aprende las reglas y las plantillas, no las historias.

Reglas de exponentes que debes dominar

x^a · x^b = x^a+bx^a / x^b = x^a−b(x^a)^b = x^abx⁰ = 1 (para todo x no nulo)x^−a = 1 / x^ax^1/n = ⁿ√xEl SAT combina 2 o 3 de estas en una sola pregunta. Practica hasta que sea automático.

Modelo de crecimiento y decaimiento exponencial

La base r decide la dirección: r > 1 explota hacia arriba, 0 < r < 1 decae hacia cero.

La plantilla maestra

y = a · b^x donde:

a = cantidad inicial (cuando x = 0)
b = factor de crecimiento por unidad de tiempo
b > 1 significa crecimiento; 0 < b < 1 significa decaimiento

Crecimiento porcentual → base exponencial

Traduce el lenguaje porcentual al b de y = a · b^x:

"aumenta 5% al año" → b = 1.05"disminuye 12% al año" → b = 0.88"se duplica cada 7 años" → b = 2, unidad de tiempo = 7 años"se reduce a la mitad cada 10 días" → b = 0.5, unidad = 10 díasTodo lo que compone se modela como exponencial, no lineal.

Ejemplo resuelto

Una colonia de bacterias empieza con 200 células y se triplica cada 4 horas.y = 200 · 3^(t/4)Tras 12 horas: y = 200 · 3³ = 200 · 27 = 5400El exponente es (t/4), no t — divide entre la longitud de la unidad de tiempo.

Otras funciones no lineales del SAT

Raíz cuadrada: y = √x — crece pero se desacelera
Cúbica: y = x³ — pasa por el origen, forma de S
Racional: y = 1/x — tiene asíntotas (rectas a las que la curva se acerca sin tocarlas)
Valor absoluto: y = |x| — forma de V abriendo hacia arriba

Ecuaciones con radicales

Para resolver una ecuación con radicales, aísla el radical y eleva al cuadrado ambos lados. Verifica siempre — elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas (falsas).

√(x + 7) = x − 5x + 7 = (x − 5)² = x² − 10x + 250 = x² − 11x + 180 = (x − 2)(x − 9) → x = 2 o 9Verifica: x = 2 da √9 = −3? No (izquierda positiva, derecha negativa). Descarta.x = 9x = 2 es extraña. Saltarse la verificación cuesta la pregunta entera.

Desmos para no lineales

Grafica la función y lee valores. Para problemas exponenciales de palabras, escribe el modelo y usa la función tabla para leer valores en x específicos — más rápido que el álgebra.

Polinomios y comportamiento en los extremos

Para polinomios de grado superior, el SAT evalúa sobre todo comportamiento en los extremos y raíces.

Grado par, coeficiente principal positivo → ambos extremos suben
Grado par, coeficiente principal negativo → ambos extremos bajan
Grado impar, coeficiente principal positivo → baja-izquierda, sube-derecha
Grado impar, coeficiente principal negativo → sube-izquierda, baja-derecha

Un polinomio tiene raíces en x = 1, x = 3, x = −2.Forma factorizada: y = a(x − 1)(x − 3)(x + 2)Si la gráfica cruza el eje y en y = 12, halla a:12 = a(−1)(−3)(2) = 6a → a = 2La forma factorizada convierte cada cálculo de raíz/intercepto en una sola línea.

Errores comunes

Tratar "aumenta 5% al año" como lineal (+5) en lugar de exponencial (×1.05)
Olvidar dividir el exponente entre la longitud de la unidad de tiempo
No revisar soluciones extrañas tras elevar al cuadrado
Confundir x^−a = 1/x^a con x^−a = −x^a
Olvidar que x⁰ = 1 (truco común en expresiones exponenciales)

→ Prueba gratis el SAT Math Quick Drill