SAT Advanced Math：指数与非线性函数

指数运算法则、增长/衰减主模板 y = a·bˣ，以及如何把"每年增长 5%"翻译成数学模型。附带根号方程的增根陷阱。

8 分钟TEKS ADVSAT Math

指数增长、指数法则和非线性函数在每场 Digital SAT 出现 3–5 次 —— 常被人口、利息或放射性衰变问题伪装。要学的是规则和模板，不是故事。

必须烂熟的指数法则

x^a · x^b = x^a+bx^a / x^b = x^a−b(x^a)^b = x^abx⁰ = 1 (对任意非零 x)x^−a = 1 / x^ax^1/n = ⁿ√xSAT 会在一题里同时用到其中 2–3 条。要练到条件反射。

指数增长与衰减模型

底 r 决定方向：r > 1 向上爆发，0 < r < 1 向零衰减。

主模板

y = a · b^x，其中：

a = 初始量（x = 0 时）
b = 单位时间的增长因子
b > 1 为增长；0 < b < 1 为衰减

百分比增长 → 指数的底

把百分比语言翻译成 y = a · b^x 里的 b：

"每年增长 5%" → b = 1.05"每年下降 12%" → b = 0.88"每 7 年翻倍" → b = 2, 时间单位 = 7 年"每 10 天减半" → b = 0.5, 时间单位 = 10 天任何复合累积的都是指数，不是线性。

解题示例

细菌起始 200 个，每 4 小时增到 3 倍。y = 200 · 3^(t/4)12 小时后：y = 200 · 3³ = 200 · 27 = 5400指数是 (t/4)，不是 t —— 要除以时间单位长度。

SAT 上其他非线性函数

平方根： y = √x —— 递增但变缓
三次： y = x³ —— 过原点，S 形
有理： y = 1/x —— 有渐近线（曲线趋近但不相交的直线）
绝对值： y = |x| —— 向上的 V 形

根号方程

解根号方程：先隔离根号，然后两侧平方。一定要检验 —— 平方可能引入增根（假解）。

√(x + 7) = x − 5x + 7 = (x − 5)² = x² − 10x + 250 = x² − 11x + 180 = (x − 2)(x − 9) → x = 2 或 9验：x = 2 得 √9 = −3？不成立（左正右负）。舍。x = 9x = 2 是增根。跳过检验就整题丢分。

非线性用 Desmos

画出函数并读值。指数应用题里，输入模型后用表格功能读特定 x 的值 —— 比代数更快。

多项式与末端行为

对高次多项式，SAT 主要考末端行为和根。

偶次、首项系数正 → 两端都朝上
偶次、首项系数负 → 两端都朝下
奇次、首项系数正 → 左下右上
奇次、首项系数负 → 左上右下

某多项式在 x = 1, x = 3, x = −2 处有根。因式形式：y = a(x − 1)(x − 3)(x + 2)图像在 y = 12 处过 y 轴，求 a：12 = a(−1)(−3)(2) = 6a → a = 2因式形式把根与 y 截距计算都压缩成一行。

常见错误

把"每年增长 5%"当成线性（+5）而不是指数（×1.05）
忘了把指数除以时间单位长度
平方后不检验增根
把 x^−a = 1/x^a 误记为 x^−a = −x^a
忘了 x⁰ = 1（指数表达式的常见陷阱）

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