SAT Advanced Math: hàm mũ và hàm phi tuyến

Quy tắc luỹ thừa, khuôn mẫu tăng trưởng/suy giảm y = a·bˣ, và cách dịch "tăng 5% mỗi năm" thành mô hình toán. Kèm cái bẫy nghiệm ngoại lai của phương trình chứa căn.

8 phútTEKS ADVSAT Math

Tăng trưởng luỹ thừa, quy tắc luỹ thừa và hàm phi tuyến xuất hiện 3–5 lần mỗi Digital SAT — thường nguỵ trang thành bài đố dân số, lãi suất hay phân rã phóng xạ. Hãy học quy tắc và khuôn mẫu, đừng học câu chuyện.

Quy tắc luỹ thừa phải thuộc như phản xạ

x^a · x^b = x^a+bx^a / x^b = x^a−b(x^a)^b = x^abx⁰ = 1 (với mọi x khác 0)x^−a = 1 / x^ax^1/n = ⁿ√xSAT sẽ ghép 2–3 quy tắc trên trong một câu. Luyện tới khi thành phản xạ.

Mô hình tăng và suy giảm luỹ thừa

Cơ số r quyết định hướng: r > 1 bùng nổ, 0 < r < 1 giảm dần về 0.

Khuôn mẫu chủ đạo

y = a · b^x với:

a = lượng ban đầu (khi x = 0)
b = hệ số tăng trưởng theo đơn vị thời gian
b > 1 là tăng; 0 < b < 1 là giảm

Tăng phần trăm → cơ số luỹ thừa

Dịch ngôn ngữ phần trăm sang b trong y = a · b^x:

"tăng 5% mỗi năm" → b = 1,05"giảm 12% mỗi năm" → b = 0,88"gấp đôi mỗi 7 năm" → b = 2, đơn vị thời gian = 7 năm"một nửa mỗi 10 ngày" → b = 0,5, đơn vị = 10 ngàyBất cứ thứ gì kép/gộp đều là luỹ thừa chứ không phải tuyến tính.

Ví dụ đã giải

Một quần thể vi khuẩn khởi đầu 200 tế bào và gấp ba mỗi 4 giờ.y = 200 · 3^(t/4)Sau 12 giờ: y = 200 · 3³ = 200 · 27 = 5400Số mũ là (t/4), không phải t — chia cho độ dài đơn vị thời gian.

Các hàm phi tuyến khác trên SAT

Căn bậc hai: y = √x — tăng nhưng chậm dần
Bậc ba: y = x³ — qua gốc, hình chữ S
Hàm hữu tỉ: y = 1/x — có tiệm cận (đường mà đồ thị tiến tới nhưng không chạm)
Giá trị tuyệt đối: y = |x| — chữ V mở lên

Phương trình chứa căn

Để giải phương trình chứa căn, cô lập căn rồi bình phương hai vế. Luôn kiểm nghiệm — bình phương có thể sinh ra nghiệm ngoại lai (giả).

√(x + 7) = x − 5x + 7 = (x − 5)² = x² − 10x + 250 = x² − 11x + 180 = (x − 2)(x − 9) → x = 2 hoặc 9Kiểm: x = 2 cho √9 = −3? Không (VT dương, VP âm). Loại.x = 9x = 2 là ngoại lai. Bỏ kiểm là mất trọn câu.

Desmos cho phi tuyến

Vẽ hàm và đọc giá trị. Với bài đố luỹ thừa, gõ mô hình rồi dùng chức năng bảng để đọc giá trị tại các x cụ thể — nhanh hơn đại số.

Đa thức và hành vi ở vô cực

Với đa thức bậc cao, SAT chủ yếu hỏi hành vi ở vô cực và các nghiệm.

Bậc chẵn, hệ số dẫn dương → cả hai đầu đi lên
Bậc chẵn, hệ số dẫn âm → cả hai đầu đi xuống
Bậc lẻ, hệ số dẫn dương → trái xuống, phải lên
Bậc lẻ, hệ số dẫn âm → trái lên, phải xuống

Đa thức có nghiệm x = 1, x = 3, x = −2.Dạng phân tích: y = a(x − 1)(x − 3)(x + 2)Đồ thị cắt trục y tại y = 12, tìm a:12 = a(−1)(−3)(2) = 6a → a = 2Dạng phân tích rút gọn mọi tính toán nghiệm và tung độ gốc về một dòng.

Lỗi thường gặp

Xem "tăng 5% mỗi năm" là tuyến tính (+5) thay vì luỹ thừa (×1,05)
Quên chia số mũ cho độ dài đơn vị thời gian
Không kiểm nghiệm ngoại lai sau khi bình phương
Nhầm x^−a = 1/x^a với x^−a = −x^a
Quên x⁰ = 1 (mẹo phổ biến trong biểu thức luỹ thừa)

→ Thử miễn phí SAT Math Quick Drill