SAT Advanced Math: 지수함수와 비선형함수
지수 법칙, 증가/감소 마스터 템플릿 y = a·bˣ, 그리고 "연 5% 증가"를 수학 모델로 옮기는 방법. 근호 방정식의 무연근 함정도 함께 다룹니다.
지수 증가, 지수 법칙, 비선형함수는 Digital SAT마다 3~5회 등장합니다 — 인구, 이자, 방사성 붕괴 문장제로 자주 위장됩니다. 이야기가 아니라 규칙과 템플릿을 배우십시오.
반드시 외워야 할 지수 법칙
xa · xb = xa+bxa / xb = xa−b(xa)b = xabx0 = 1 (임의의 x ≠ 0)x−a = 1 / xax1/n = ⁿ√xSAT는 한 문항에서 이 중 2~3개를 결합합니다. 자동화될 때까지 연습하십시오.
지수 증가·감소 모델
마스터 템플릿
y = a · bx에서:
- a = 초기값 (x = 0일 때)
- b = 단위 시간당 성장 인자
- b > 1은 증가; 0 < b < 1은 감소
퍼센트 증가 → 지수의 밑
퍼센트 표현을 y = a · bx의 b로 변환하십시오:
"연 5% 증가" → b = 1.05"연 12% 감소" → b = 0.88"7년마다 두 배" → b = 2, 시간 단위 = 7년"10일마다 절반" → b = 0.5, 시간 단위 = 10일복리로 누적되는 모든 것은 선형이 아닌 지수입니다.
실전 예제
박테리아 군락이 200개에서 시작하여 4시간마다 3배가 된다.y = 200 · 3(t/4)12시간 후: y = 200 · 33 = 200 · 27 = 5400지수는 t가 아니라 (t/4) — 시간 단위 길이로 나누십시오.
SAT의 그 밖의 비선형 함수
- 제곱근: y = √x — 증가하지만 둔화
- 삼차: y = x³ — 원점을 지나는 S자
- 유리: y = 1/x — 점근선을 가짐(곡선이 다가가지만 닿지 않는 직선)
- 절댓값: y = |x| — 위로 열린 V자
근호 방정식
근호 방정식은 근호를 고립시킨 뒤 양변을 제곱해 풉니다. 반드시 검산하십시오 — 제곱은 무연근(가짜 해)을 만들 수 있습니다.
√(x + 7) = x − 5x + 7 = (x − 5)² = x² − 10x + 250 = x² − 11x + 180 = (x − 2)(x − 9) → x = 2 또는 9검산: x = 2이면 √9 = −3? 아니오 (좌변 양수, 우변 음수). 기각.x = 9x = 2는 무연근입니다. 검산을 건너뛰면 문항 하나를 통째로 잃습니다.
비선형함수용 Desmos
함수를 그래프로 그려 값을 읽으십시오. 지수 문장제는 모델을 입력한 뒤 테이블 기능으로 특정 x에서의 값을 읽는 것이 대수보다 빠릅니다.
다항식과 끝 거동
고차 다항식에서 SAT는 주로 끝 거동과 근을 물어봅니다.
- 짝수 차수, 양의 최고차 계수 → 양 끝이 위
- 짝수 차수, 음의 최고차 계수 → 양 끝이 아래
- 홀수 차수, 양의 최고차 계수 → 좌하-우상
- 홀수 차수, 음의 최고차 계수 → 좌상-우하
다항식이 x = 1, x = 3, x = −2에서 근을 가진다.인수분해 형태: y = a(x − 1)(x − 3)(x + 2)그래프가 y = 12에서 y축을 지난다면 a는?12 = a(−1)(−3)(2) = 6a → a = 2인수분해 형태는 근과 y절편 계산을 한 줄로 만들어줍니다.
흔한 실수
- "연 5% 증가"를 선형(+5)으로 다루고 지수(×1.05)로 다루지 않는 것
- 지수를 시간 단위 길이로 나누는 것을 잊는 것
- 제곱한 뒤 무연근을 검증하지 않는 것
- x−a = 1/xa를 x−a = −xa로 착각하는 것
- x0 = 1임을 잊는 것(지수 식의 흔한 함정)