SAT Advanced Math: hàm số bậc hai và parabol

Ba dạng của phương trình bậc hai, quy tắc biệt thức, khi nào phân tích so với dùng công thức, và mẹo Vi-ét giải câu "tổng các nghiệm" trong chưa đầy 10 giây.

9 phútTEKS ADVSAT Math

Bậc hai là chủ đề bị hỏi nhiều nhất trong miền Advanced Math — dự tính 4–6 câu về parabol, công thức nghiệm, phân tích, dạng đỉnh. Ba dạng của cùng một phương trình, ba công dụng khác nhau.

Ba dạng của bậc hai

Mỗi dạng bộc lộ một đặc trưng riêng

Chuẩn: y = ax² + bx + c → cho biết tung độ gốc (c)
Đỉnh: y = a(x − h)² + k → cho biết đỉnh (h, k)
Phân tích: y = a(x − p)(x − q) → cho biết các nghiệm (p, q)

Đỉnh nằm chính giữa hai nghiệm. Trục đối xứng x = h đi qua đỉnh.

Công thức nghiệm

Với mọi bậc hai ax² + bx + c = 0, các nghiệm được cho bởi:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)Phải thuộc lòng. Bảng tra Bluebook KHÔNG có công thức này.

Khi nào phân tích vs. dùng công thức

Luôn thử phân tích trước — nhanh hơn khi số đẹp. Dùng công thức nghiệm khi phân tích thất bại hoặc hệ số xấu.

x² − 5x + 6 = 0(x − 2)(x − 3) = 0x = 2 hoặc x = 3Cần hai số nhân được +6 và cộng được −5: −2 và −3.

2x² + 3x − 5 = 0x = (−3 ± √(9 + 40)) / 4x = (−3 ± 7) / 4x = 1 hoặc x = −5/2Biệt thức 49 → chính phương → nghiệm đẹp.

Biệt thức cho biết số nghiệm thực

Biệt thức: D = b² − 4acD > 0 → hai nghiệm thực (parabol cắt trục x hai lần)D = 0 → một nghiệm thực (parabol tiếp xúc trục x)D < 0 → không có nghiệm thực (parabol không cắt)SAT thích hỏi "với k nào phương trình có đúng một nghiệm?" — đặt D = 0.

Dạng đỉnh và bình phương hoá

Nếu cần đỉnh từ dạng chuẩn ax² + bx + c, dùng mẹo:

h = −b / (2a)k = f(h) — thế h trở lạiVí dụ: y = x² − 6x + 11 → h = 3, k = 9 − 18 + 11 = 2 → đỉnh (3, 2)

Desmos cho bậc hai

Gõ phương trình bậc hai và Desmos hiển thị parabol với nghiệm, đỉnh và tung độ gốc bấm được. Với câu "tính tổng các nghiệm", đây là bài giải 10 giây.

Mẹo Vi-ét

Với ax² + bx + c = 0: tổng nghiệm = −b/a và tích nghiệm = c/a. Bỏ qua toàn bộ việc giải khi đề chỉ hỏi tổng hoặc tích.

Parabol mở về hướng nào?

Dấu của a trong y = ax² + bx + c quyết định hướng.

a > 0 → parabol mở lên, đỉnh là cực tiểu
a < 0 → parabol mở xuống, đỉnh là cực đại
|a| lớn → parabol hẹp; |a| nhỏ → rộng

Bài đố: chuyển động ném

Chiều cao (feet) của quả bóng tại thời điểm t (giây) là h(t) = −16t² + 48t + 6. Chiều cao cực đại?a = −16, b = 48 → t = −b/(2a) = −48/(−32) = 1,5 giâyh(1,5) = −16(2,25) + 48(1,5) + 6 = −36 + 72 + 6 = 42 feetBài chuyển động ném là bậc hai được nguỵ trang. Luôn tìm giá trị t của đỉnh trước.

Phép biến đổi đồ thị

Với y = a(x − h)² + k, mỗi tham số dịch chuyển hoặc co giãn parabol chuẩn y = x²:

h dịch ngang — sang phải h đơn vị (chú ý dấu trừ bên trong)
k dịch dọc — lên k đơn vị
a co giãn dọc — kéo dài nếu |a| > 1, nén nếu |a| < 1, lật nếu âm

Lỗi thường gặp

Quên nghiệm thứ hai — bậc hai có hai nghiệm trừ khi D = 0
Sai dấu trong công thức nghiệm (−b ở phía trước)
Nhầm toạ độ dạng đỉnh: y = a(x − 3)² + 2 có đỉnh (3, 2), không phải (−3, 2)
Viết 4ac thay vì b² − 4ac cho biệt thức
Cho rằng parabol mở lên khi a âm

→ Thử miễn phí SAT Math Quick Drill