SAT Advanced Math：二次函数与抛物线
二次式的三种形式、判别式规则、何时因式分解与何时用公式，以及 10 秒解决"根之和"问题的韦达捷径。
二次式是 Advanced Math 领域考察最多的主题 —— 抛物线、求根公式、因式分解和顶点式加起来 4–6 题。同一方程的三种形式，各有各的用途。
二次式的三种形式
每种形式暴露不同特征
- 一般式： y = ax² + bx + c → 显示 y 截距 (c)
- 顶点式： y = a(x − h)² + k → 显示顶点 (h, k)
- 因式式： y = a(x − p)(x − q) → 显示根 (p 和 q)
求根公式
对于任意 ax² + bx + c = 0，根为：
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)务必记牢。Bluebook 参考表不提供。
因式分解 vs. 求根公式
永远先尝试因式分解 —— 数字干净时更快。因式失败或系数难看时才用求根公式。
x² − 5x + 6 = 0(x − 2)(x − 3) = 0x = 2 或 x = 3找乘积 +6、和 −5 的两个数：−2 和 −3。
2x² + 3x − 5 = 0x = (−3 ± √(9 + 40)) / 4x = (−3 ± 7) / 4x = 1 或 x = −5/2判别式 49 → 完全平方 → 根干净。
判别式告诉你实根个数
判别式：D = b² − 4acD > 0 → 两个实根（抛物线两次穿过 x 轴）D = 0 → 一个实根（抛物线与 x 轴相切）D < 0 → 无实根（抛物线不与 x 轴相交）SAT 爱问"k 为何值时方程恰有一解？"—— 令 D = 0。
顶点式与配方法
若要从一般式 ax² + bx + c 得到顶点，用捷径：
h = −b / (2a)k = f(h) —— 把 h 代回示例：y = x² − 6x + 11 → h = 3, k = 9 − 18 + 11 = 2 → 顶点 (3, 2)
Desmos 处理二次式
输入二次式，Desmos 会画出抛物线，根、顶点和 y 截距皆可点击。对"根之和"类题目，这是 10 秒解题。
韦达捷径
对 ax² + bx + c = 0：根之和 = −b/a、根之积 = c/a。仅问和或积时，直接跳过整套解题。
抛物线朝哪开口？
y = ax² + bx + c 中，a 的符号决定方向。
- a > 0 → 开口向上，顶点是最小值
- a < 0 → 开口向下，顶点是最大值
- |a| 越大 → 抛物线越窄；越小 → 越宽
应用：抛体运动
球在 t 秒时的高度（英尺）为 h(t) = −16t² + 48t + 6。最大高度为？a = −16, b = 48 → t = −b/(2a) = −48/(−32) = 1.5 秒h(1.5) = −16(2.25) + 48(1.5) + 6 = −36 + 72 + 6 = 42 英尺抛体问题是伪装的二次式。总是先找顶点的 t 值。
函数变换
在 y = a(x − h)² + k 中，各参数对基本抛物线 y = x² 做位移或缩放：
- h 水平平移 —— 向右 h（注意括号内的减号）
- k 垂直平移 —— 向上 k
- a 垂直缩放 —— |a| > 1 拉伸，|a| < 1 压缩，负则翻转
常见错误
- 忘了第二个根 —— 除非 D = 0，二次方程有两个解
- 求根公式符号错（前面的 −b）
- 混淆顶点式坐标：y = a(x − 3)² + 2 的顶点是 (3, 2)，不是 (−3, 2)
- 判别式写成 4ac 而不是 b² − 4ac
- a 为负却以为抛物线开口向上