SAT Advanced Math: 이차함수와 포물선
이차식의 세 가지 형태, 판별식 규칙, 인수분해와 근의 공식 중 언제 무엇을 쓸지, 그리고 "근의 합" 문제를 10초 안에 푸는 비에타 단축법을 정리합니다.
이차식은 Advanced Math 도메인에서 출제 빈도가 가장 높습니다 — 포물선, 근의 공식, 인수분해, 꼭짓점 형태에서 4~6문항이 나옵니다. 같은 식의 세 가지 형태, 세 가지 용도입니다.
이차식의 세 가지 형태
각 형태는 서로 다른 특징을 드러냅니다
- 표준형: y = ax² + bx + c → y절편(c)이 드러납니다
- 꼭짓점형: y = a(x − h)² + k → 꼭짓점 (h, k)가 드러납니다
- 인수분해형: y = a(x − p)(x − q) → 근(p, q)이 드러납니다
근의 공식
임의의 이차식 ax² + bx + c = 0에 대해 근은 다음과 같습니다:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)외우십시오. Bluebook 참고 시트에는 이 공식이 포함되어 있지 않습니다.
인수분해 vs 근의 공식
항상 먼저 인수분해를 시도하십시오 — 숫자가 깔끔하면 더 빠릅니다. 인수분해가 안 되거나 계수가 지저분할 때 근의 공식을 사용하십시오.
x² − 5x + 6 = 0(x − 2)(x − 3) = 0x = 2 또는 x = 3곱해서 +6, 더해서 −5가 되는 두 수: −2와 −3.
2x² + 3x − 5 = 0x = (−3 ± √(9 + 40)) / 4x = (−3 ± 7) / 4x = 1 또는 x = −5/2판별식 49 → 완전제곱 → 깔끔한 근.
판별식은 실근의 개수를 알려줍니다
판별식: D = b² − 4acD > 0 → 서로 다른 두 실근 (x축과 두 번 교차)D = 0 → 중근 (x축에 접함)D < 0 → 실근 없음 (x축과 만나지 않음)SAT는 "k가 어떤 값일 때 해가 정확히 하나인가?"를 좋아합니다 — D = 0으로 두십시오.
꼭짓점 형태와 완전제곱
표준형 ax² + bx + c에서 꼭짓점이 필요하면 단축법:
h = −b / (2a)k = f(h) — h를 대입예: y = x² − 6x + 11 → h = 3, k = 9 − 18 + 11 = 2 → 꼭짓점 (3, 2)
이차식용 Desmos
이차식을 입력하면 Desmos가 근, 꼭짓점, y절편이 클릭 가능한 포물선을 표시합니다. "근의 합" 유형 문제는 10초 컷입니다.
비에타 단축법
ax² + bx + c = 0에서: 근의 합 = −b/a, 근의 곱 = c/a. 합이나 곱만 묻는 경우 풀이 전체를 건너뛰십시오.
포물선의 개형
y = ax² + bx + c에서 a의 부호가 개형을 결정합니다.
- a > 0 → 위로 볼록, 꼭짓점은 최솟값
- a < 0 → 아래로 볼록, 꼭짓점은 최댓값
- |a| 크면 → 폭이 좁고, |a| 작으면 → 폭이 넓음
문장제: 포물선 운동
공의 시각 t(초)에서의 높이(피트)는 h(t) = −16t² + 48t + 6이다. 최대 높이는?a = −16, b = 48 → t = −b/(2a) = −48/(−32) = 1.5초h(1.5) = −16(2.25) + 48(1.5) + 6 = −36 + 72 + 6 = 42피트포물선 운동은 위장된 이차식입니다. 항상 꼭짓점의 t값을 먼저 구하십시오.
함수 변환
y = a(x − h)² + k에서 각 매개변수는 기본 포물선 y = x²을 평행이동하거나 늘립니다:
- h는 수평 이동 — 오른쪽으로 h만큼(안쪽의 마이너스 부호 주의)
- k는 수직 이동 — 위로 k만큼
- a는 수직 스케일 — |a| > 1이면 늘어남, |a| < 1이면 압축, 음수면 뒤집힘
흔한 실수
- 두 번째 근을 잊는 것 — D = 0이 아니면 이차식엔 두 해가 있습니다
- 근의 공식의 부호 실수(맨 앞의 −b)
- 꼭짓점형 좌표 혼동: y = a(x − 3)² + 2의 꼭짓점은 (3, 2)이며 (−3, 2)가 아닙니다
- 판별식으로 b² − 4ac 대신 4ac를 쓰는 것
- a가 음수인데 포물선이 위로 볼록이라 가정하는 것