SAT Problem-Solving: 통계와 자료 분석
평균 vs 중앙값(및 이상치 효과), 표준편차 비교, 산점도, 이원표, 그리고 SAT가 즐겨 놓는 상관관계-인과 함정을 다룹니다.
통계는 매 Digital SAT마다 2~4문항 등장합니다 — 평균, 중앙값, 표준편차, 산점도, 표집. 어떤 지표가 이상치에 민감한지 아닌지만 기억하면 대부분 빠르게 풉니다.
대푯값
세 가지 평균, 세 가지 용도
- 평균 = 합 / 개수 — 이상치에 민감
- 중앙값 = 가운데 값(먼저 정렬!) — 이상치에 강함
- 최빈값 = 가장 자주 나타나는 값 — 직접 출제되는 경우는 드묾
자료: 4, 7, 9, 9, 12, 14, 80평균 = 135 / 7 ≈ 19.3중앙값 = 9 (정렬된 7개의 4번째 값)최빈값 = 9 (두 번 등장)이상치 80은 평균은 부풀리지만 중앙값은 건드리지 않습니다.
이상치가 중요한 순간
SAT의 단골 패턴: "가장 큰 값이 100 증가하면 평균과 중앙값에 무엇이 일어나는가?" 평균은 100/n만큼 상승, 중앙값은 이동하지 않습니다(가장 큰 값이 이미 중앙값이었던 경우 제외).
표준편차 = 산포
SAT에서 표준편차를 손으로 계산할 일은 없지만, 자료 집합 간 비교는 반드시 해야 합니다.
집합 A: 50, 50, 50, 50, 50 → SD = 0 (산포 없음)집합 B: 10, 30, 50, 70, 90 → SD 큼 (매우 흩어짐)산포가 클수록 표준편차가 큽니다. 평균이 같은 것은 무관합니다.
산점도와 최적적합선
산점도 문항은 보통 세 가지 중 하나를 묻습니다:
- 최적적합선의 기울기 — "x가 1 증가할 때 y가 m만큼 변한다"로 해석
- 최적적합선의 y절편 — x = 0일 때 예측 y
- y값 예측 — 직선 식에 x를 대입
상관 vs 인과
SAT는 "자료가 X가 Y를 유발함을 보인다"로 함정을 놓습니다. 관측 자료로부터의 인과 주장은 거부하십시오 — 실험만이 인과를 뒷받침합니다.
오차범위와 표집
SAT는 표집 개념을 느슨하게 다룹니다. 두 규칙:
- 표본이 클수록 오차범위가 작아집니다. 표본 크기를 두 배로 하면 오차가 줄어듭니다.
- 무작위 표본만 일반화 가능합니다. 비무작위(자원자 등) 표본은 크기와 무관하게 일반화할 수 없습니다.
기본 확률
P(사건) = 유리한 경우의 수 / 전체 경우의 수P(A와 B, 독립) = P(A) · P(B)P(A 또는 B, 배반) = P(A) + P(B)이원표 확률: 셀 값을 읽고 문제가 요구하는 행·열·총합으로 나누십시오.
주머니에 빨간 구슬 4개, 파란 구슬 6개. 하나를 뽑는다.P(빨강) = 4/10 = 2/5P(파랑) = 6/10 = 3/5모든 결과의 확률 합은 1입니다.
이원표 문항
이원표는 SAT의 최애 통계 도구입니다. 요령은 문제가 조건을 걸고 있는 대상을 파악하는 것입니다:
- "전체 학생 중 몇 %가 X인가?" → 셀 값을 총합으로 나눔
- "3학년 중 몇 %가 X인가?" → 셀 값을 행(또는 열) 합계로 나눔
- "학생이 X일 때, ..." → 조건부 확률, 분모는 X의 합계
주어진 평균에서 결측값 찾기
SAT 단골 패턴: 평균이 주어지고 결측값 하나를 구하는 문제.
다섯 점수의 평균이 84. 네 점수는 78, 82, 90, 88. 다섯 번째는?다섯 점수의 합 = 84 · 5 = 420알려진 네 점수의 합 = 78 + 82 + 90 + 88 = 338다섯 번째 점수 = 420 − 338 = 82평균을 먼저 총합으로 바꾸십시오 — 대수는 뺄셈 한 번으로 축약됩니다.
흔한 실수
- 중앙값을 구하기 전에 정렬을 잊는 것
- 표준편차(산포)와 평균(중심)의 혼동
- 산점도에서 인과 결론을 내리는 것
- 이원표에서 잘못된 총합으로 나누는 것
- 비무작위 표본에서 전체 모집단으로 일반화하는 것